Những con ong làm thế nào vậy? Tảng ong (honeycomb), nơi chúng chứa thứ mật ngọt màu hổ phách, là kết quả tuyệt diệu của một công trình kỹ thuật chỉn chu, một khối tập hợp những căn phòng dạng lăng trụ có mặt cắt hình lục giác đều hoàn hảo. Những bức tường sáp được làm với một độ dày tuyệt đối chính xác, những cái lỗ hơi nghiêng nhẹ so với trục hoành để ngăn không cho mật chảy ra ngoài, và cả tảng thì được căn chỉnh với từ trường Trái Đất. Cấu trúc này được tạo nên mà không cần một bản thiết kế hay tính toán trước gì cả, và được xây bởi rất nhiều chú ong làm việc đồng loạt cùng một lúc và bằng cách nào đó phối hợp công việc của mình với nhau để tránh tạo ra bất cứ một ô không khớp nào.

Nhà triết học Hy Lạp cổ đại Pappus ở Alexandria1 nghĩ rằng những con ong hẳn phải được ban cho “một khả năng tính toán hình học nhất định.” Và ai có thể cho chúng sự thông thái này, ngoại trừ Chúa Trời? Theo William Kirby vào năm 1852, ong là “những nhà toán học được dạy bởi Thiên Đường.” Charles Darwin2 thì lại không chắc lắm, và ông đã tiến hành thí nghiệm để xem liệu có phải loài ong có thể xây những cái tảng chứa mật hoàn hảo mà không dùng gì khác ngoài những bản năng được tiến hóa và kế thừa không, như thuyết tiến hóa của ông ám chỉ.

Tuy nhiên, tại sao lại là hình lục giác? Đây là một vấn đề hình học đơn giản. Nếu bạn muốn xếp các ô giống y hệt nhau về hình dáng và kích thước sao cho chúng tạo thành một mặt phẳng, sẽ chỉ có ba loại hình đều (có các cạnh và góc bằng nhau) thỏa mãn được điều kiện này: tam giác đều, hình vuông, và lục giác đều. Trong các hình này, lục giác đều có tổng độ dài các cạnh bé nhất, so với tam giác đều hay hình vuông có cùng diện tích. Vậy nên khá có lý là những con ong sẽ chọn3 lục giác đều, vì việc làm sáp đã rất tốn sức rồi, và chúng sẽ muốn tốn thêm càng ít năng lượng càng tốt – cũng như những người thợ xây sẽ muốn tiết kiệm chi phí tiền mua gạch vậy. Từ thế kỷ 18 người ta đã hiểu điều này, và Darwin khẳng định rằng tảng ong hình lục giác là “một sự tiết kiệm hoàn hảo về sức lao động và sáp.”

Việc xây nên một tập hợp các ô hình lục giác đều là điều tự nhiên đằng nào cũng sẽ làm.

Darwin nghĩ rằng chọn lọc tự nhiên đã ban cho những con ong bản năng để xây dựng những căn phòng sáp như vậy, với ưu điểm là tốn ít năng lượng và thời gian hơn những hình khối khác. Nhưng dù kể cả là ong dường như sở hữu khả năng đặc biệt trong việc đo đạc góc và độ dày của tường thật, không phải ai cũng thống nhất về mức độ chúng phụ thuộc vào các khả năng đó. Ấy là bởi vì việc xây nên một tập hợp các ô hình lục giác đều là điều tự nhiên đằng nào cũng sẽ làm.

Nếu bạn thổi một lớp bong bóng trên bề mặt nước – như kiểu một chiếc “bè bong bóng” – những bong bóng sẽ có hình lục giác, hoặc gần giống như vậy. Bạn sẽ không bao giờ thấy một tấm bè nào có bong bóng hình vuông: Nếu bốn bong bóng tiếp xúc với nhau, chúng sẽ lập tức ráp thành một điểm giao thoa ba cạnh với các góc giữa các cạnh khoảng tầm 120 độ, trông gần giống như là tâm điểm trên biểu tượng của hãng xe hơi Mercedes-Benz.

Rõ ràng là chẳng có một ai ra tay nắn các bè bong bóng đó thành hình, như cách bọn ong làm với tổ của chúng. Quy luật vật lý là thứ quyết định những mẫu hình4 đó. Những quy luật này hẳn là có các sự ưu tiên nhất định, ví dụ như việc thiên vị các điểm giao ba cạnh của màng bong bóng. Điều tương tự cũng đúng với những khối bọt (tức là một khối cấu tạo bởi nhiều bong bóng) phức tạp hơn. Nếu bạn chất đống các bong bóng trong không gian ba chiều bằng cách dùng ống hút thổi vào một cái bát đựng nước xà phòng, bạn sẽ thấy là khi các bong bóng giao thoa tại một điểm, chúng sẽ luôn tạo thành một điểm giao bốn cạnh với các góc ở giữa khoảng bằng 109 độ – một số đo góc thường gặp ở những khối tứ diện.

Sức căng bề mặt này giải thích cho những hình dạng của bong bóng và các khối bọt.

Điều gì quyết định quy luật của những điểm giao thoa giữa các lớp màng nước xà phòng và hình khối bong bóng này? Tự nhiên còn quan tâm đến việc tiết kiệm hơn cả loài ong nữa. Bong bóng và màng xà phòng đều có thành phần là nước (với một lớp mỏng các phân tử xà phòng), và sức căng bề mặt sẽ kéo bề mặt chất lỏng để cho ra một diện tích nhỏ nhất có thể. Đó là lý do vì sao những giọt mưa lại có hình cầu (na ná như vậy) khi chúng rơi xuống: Một hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ hơn bất cứ hình khối nào có cùng thể tích. Trên mặt một chiếc lá, các giọt nước co lại thành những hạt nhỏ cũng vì lý do như vậy.

Sức căng bề mặt này giải thích cho những hình dạng của bong bóng và các khối bọt. Một khối bọt sẽ tìm một cấu trúc mà có sức căng bề mặt nhỏ nhất, cũng có nghĩa là diện tích màng nước nhỏ nhất. Nhưng cách xếp đặt các màng bong bóng cũng phải ổn định về mặt cơ học: Lực kéo theo nhiều chiều khác nhau ở mỗi điểm tiếp xúc phải tuyệt đối cân bằng, cũng như việc các lực trong bức tường của một thánh đường phải cân bằng để giữ cả tòa nhà đứng vững. Những điểm tiếp xúc ba cạnh trong một lớp bong bóng, và tiếp xúc bốn cạnh trong một khối bọt biển, là những cấu trúc đạt được sự cân bằng này.

Nhưng những ai nghĩ là (vì có một vài người nghĩ vậy) tảng ong chỉ là một phiên bản phao bong bóng dạng rắn của các bong bóng làm bằng sáp mềm có lẽ sẽ gặp khó khăn khi giải thích làm thế nào mà một cấu trúc các ô lục giác tương tự như vậy cũng được tìm thấy ở tổ ong giấy (paper wasps), loài ong xây tổ không phải bằng sáp mà bằng cách nhai những sợi gỗ và thân cây để tạo ra một loại chất liệu giống như giấy. Vậy là ở đây, không chỉ là sức căng bề mặt gần như không có vai trò mấy, mà còn khá rõ ràng là các loài ong khác nhau có những bản năng di truyền khác nhau khi thiết kế kiến trúc, và sự khác biệt đó có thể khá đa dạng từ loài này sang loài khác.

Mặc dù cấu trúc hình học của các điểm giao nhau giữa những màng bong bóng được quyết định bởi sự kết hợp của các lực cơ học, nó không cho ta thấy được hình dáng của một khối bọt thì trông sẽ thế nào. Một khối bọt điển hình chứa rất nhiều các khối đa diện với hình dạng và kích cỡ khác nhau. Nhìn kĩ thì bạn sẽ thấy là các cạnh của chúng hiếm khi nào thẳng tuyệt đối; thường chúng sẽ hơi cong một chút. Đó là vì sức ép của khí bên trong một khối hay bong bóng sẽ lớn hơn nếu bong bóng nhỏ hơn, nên bề mặt của một bong bóng nhỏ khi nằm cạnh một bong bóng lớn hơn sẽ hơi phồng ra ngoài. Hơn nữa, một số khối sẽ có năm mặt, một số sáu mặt, và một số chỉ có bốn hay thậm chí là ba. Khi bề mặt bị bẻ cong một chút, tất cả các hình khối này có thể đạt được những giao điểm bốn cạnh gần giống như là cấu trúc “tứ diện” cần có cho sự ổn định cơ học. Vậy nên là hình dạng của các khối này cũng khá mềm dẻo (theo đúng nghĩa đen). Một khối bọt, dù chịu tác động bởi các quy luật hình học, chính ra lại khá lộn xộn.

Vậy giả sử là bạn có thể tạo nên một khối bọt “hoàn hảo” mà trong đó tất cả các bong bóng đều có cùng một kích cỡ. Thế thì hình khối nào sẽ là lý tưởng nhất cho các bong bóng để diện tích bề mặt của chúng nhỏ nhất có thể trong khi vẫn thỏa mãn yêu cầu về góc ở các điểm giao nhau? Đây là đề tài được tranh luận trong nhiều năm, và trong một thời gian dài hình khối lý tưởng được cho là một khối đa diện 14 mặt với các mặt là hình vuông và lục giác đều. Nhưng vào năm 1993 một cấu trúc khác tiết kiệm hơn – dù cũng lộn xộn hơn – được khám phá, bao gồm một nhóm lặp lại của tám hình khối khác nhau. Hình mẫu phức tạp hơn này đã là nguồn cảm hứng cho thiết kế hình bọt biển của sân vận động dưới nước5 tại Thế Vận Hội Olympic Bắc Kinh năm 2008.

Quy luật của các hình khối cấu thành nên bọt cũng ảnh hưởng đến một số hình mẫu quan sát được ở tế bào sinh vật sống. Không chỉ kiểu mắt đa hợp của ruồi cho thấy một tập hợp các khối lục giác tương tự như ở lớp bè bong bóng, mà các tế bào nhạy quang trong mỗi bên mắt của chúng cũng nhóm lại thành những nhóm bốn tế bào trông y hệt như bong bóng xà phòng. Ở những con ruồi bị đột biến có nhiều hơn bốn tế bào trong mỗi nhóm, các cách sắp xếp cũng khá giống với trường hợp tương tự của bong bóng.

Nếu khung kim loại bị bẻ cong, màng bong bóng cũng sẽ cong theo với một đường vô cùng tinh tế mà cho bạn thấy ngay lập tức cách thức tiết kiệm nhất, về mặt nguyên liệu, để bao phủ phần khoảng không giới hạn bởi khung. Điều này có thể giúp kiến trúc sư trong việc làm cách nào để xây mái nhà cho những khối kiến trúc phức tạp mà sử dụng ít nguyên liệu nhất.

Do sức căng bề mặt, một màng nước xà phòng căng trên một vòng dây kim loại sẽ được kéo phẳng giống như tấm màng đàn hồi của chiếc bạt lò xo. Nếu khung kim loại bị bẻ cong, màng bong bóng cũng sẽ cong theo với một đường vô cùng tinh tế mà cho bạn thấy ngay lập tức cách thức tiết kiệm nhất, về mặt nguyên liệu, để bao phủ phần khoảng không giới hạn bởi khung. Điều này có thể giúp kiến trúc sư trong việc làm cách nào để xây mái nhà cho những khối kiến trúc phức tạp mà sử dụng ít nguyên liệu nhất. Tuy nhiên, cũng còn là bởi những “bề mặt tối giản” này, như chúng vẫn thường được gọi, rất đẹp và tinh tế, bên cạnh sự tiết kiệm của chúng, mà các kiến trúc sư như Frei Otto6 đã sử dụng chúng trong các công trình của mình.

Những bề mặt này tối giản không chỉ diện tích bề mặt mà còn cả tổng độ cong của chúng. Khi bẻ càng nhiều thì độ cong càng lớn hơn. Một đường cong có thể là dương (lồi ra) hoặc âm (lõm, thụt, hoặc cong xuống). Bề mặt một đường cong vì vậy có thể có giá trị trung bình là không nếu những phần dương và âm loại trừ hết cho nhau.

Vậy nên một dải bất kì có thể có rất nhiều đường cong mặc dù tổng độ cong của nó rất nhỏ hoặc bằng không. Một bề mặt cong tối giản như vậy có thể chia không gian thành một mê cung của các hành lang và đường nối – một mạng lưới. Chúng được gọi là những bề mặt tối giản theo chu kỳ. (Theo chu kỳ hiểu đơn giản là một cấu trúc lặp đi lặp lại giống y hệt nhau, hay nói cách khác là, một hình mẫu lặp lại.) Khi những hình mẫu như vậy được khám phá vào thế kỷ 19, chúng có vẻ như chỉ là một tò mò về mặt toán học. Nhưng giờ chúng ta biết được là thiên nhiên cũng tận dụng chúng.

Tế bào của các loài sinh vật khác nhau, từ thực vật đến cá mút đá (lamprey)7 đến chuột, đều bao gồm những màng tế bào với các cấu trúc hiển vi như vậy. Không ai biết chúng để làm gì, nhưng chúng phổ biến đến độ ta có thể mặc định là chúng có một vai trò hữu dụng nào đó. Có lẽ là chúng giúp tách biệt một quá trình sinh hóa khỏi một quá trình khác, nhằm tránh hiện tượng nhiễu tín hiệu (crosstalk)8 và can thiệp (interference)9. Hoặc có thể chúng chỉ là một cách hiệu quả để tạo nên nhiều “bề mặt làm việc” khác nhau, vì nhiều quá trình sinh hóa xảy ra trên bề mặt màng tế bào, nơi enzyme và các phân tử hoạt động có thể gắn vào. Dù chức năng của nó là gì đi chăng nữa, bạn không cần những chỉ dẫn gen phức tạp để tạo nên một mê cung như vậy: Quy luật vật lý sẽ làm việc đó cho bạn.

Một số loài bướm, như European Green Hairstreak và Emerald-Patched Cattleheart, có những vảy cánh chứa một mê cung trật tự tạo thành từ một chất cứng tên chitin, với hình dạng giống như một mặt phẳng tối giản theo chu kỳ tên là gyroid10. Sự giao thoa giữa sóng ánh sáng, nảy trên các gờ và các cấu trúc khác trên bề mặt cánh của bướm, khiến một số bước sóng – hay chính là màu sắc – biến mất trong khi một số khác lại tăng cường lẫn nhau. Vậy là ở đây hình mẫu cũng là một cách để tạo nên màu của các loài vật.

Khung xương của loài nhím biển Cidaris rugosa là một mạng lưới chằng chịt đầy lỗ với hình dạng của một kiểu bề mặt tối giản theo chu kỳ khác. Nó thực ra là một bộ xương bao ngoài các mô mềm của loài vật này, một dạng vỏ bảo vệ mà từ đó tủa ra những cái gai nhọn hăm dọa làm từ loại chất khoáng giống như trong phấn và đá cẩm thạch. Cấu trúc lưới mở có nghĩa là chất liệu này khỏe mà không quá nặng, giống như loại bọt kim loại (metal foam)11 được dùng trong việc xây máy bay.

Để làm nên các mạng lưới có trật tự từ chất khoáng rắn và cứng, có vẻ như những sinh vật này làm một cái khuôn từ màng tế bào mềm, dẻo và rồi kết tinh vật liệu cứng lại bên trong một trong những mạng lưới thông nhau đó. Các sinh vật khác có lẽ tạo nên những cấu trúc khoáng dạng bọt theo cách này cho những mục đích tinh vi hơn. Vì cách mà ánh sáng va đập với các thành phần trong một cấu trúc theo hình mẫu, những giàn lưới như vậy có thể đóng vai trò như là các tấm gương giữ và điều chỉnh ánh sáng. Một cấu trúc kiểu tổ ong bao gồm những ống hiển vi nằm trong những cái gai chitin của một loài giun biển kì lạ, được biết đến dưới cái tên chuột biển (sea mouse)12, biến những cấu trúc tựa như tóc này thành các cáp quang tự nhiên mà có thể điều khiển ánh sáng, khiến cho sinh vật này đổi từ màu đỏ sang xanh lá-xanh dương tùy thuộc vào hướng chiếu sáng. Màn đổi màu này có lẽ được dùng để tránh kẻ săn mồi.

Những quá trình như vậy, gọi là sinh khoáng hóa, đã tạo nên những tác phẩm tuyệt diệu ở những loài động việc biển tên là trùng tia (radiolarian) và tảo cát (diatom).

Nguyên lý sử dụng mô mềm và màng tế bào như khuôn để tạo nên các bộ xương ngoài bằng chất khoáng và có hình mẫu được sử dụng rộng rãi trong thế giới đại dương. Một số loài bọt biển có vỏ ngoài cấu tạo bởi các que khoáng nối với nhau như những khung chơi leo trèo, mà giống những hình mẫu tạo bởi các cạnh và điểm nối của màng bong bóng trong bọt biển một cách kinh ngạc – đây không phải một sự trùng hợp, nếu như sức căng bề mặt quyết định cấu trúc.

Những quá trình như vậy, gọi là sinh khoáng hóa, đã tạo nên những tác phẩm tuyệt diệu ở những loài động việc biển tên là trùng tia (radiolarian)13 và tảo cát (diatom)14. Một số loài có những tấm vỏ ngoài theo hình mẫu được làm từ một mạng lưới của các hình lục giác và đa giác đều bằng chất khoáng: Bạn có thể gọi chúng là tổ ong của biển. Khi nhà sinh học (và nghệ sĩ tài năng) người Đức Ernst Haekel15 lần đầu nhìn thấy hình dạng của chúng dưới kính hiển vi vào cuối thế kỉ 19, ông đã biến chúng thành ngôi sao trong tuyển tập các bản vẽ của mình có tên gọi là Art Forms in Nature (Tạm dịch: Những hình dáng nghệ thuật trong tự nhiên), rất có ảnh hưởng trong giới nghệ sĩ vào đầu thế kỷ 20 và vẫn còn truyền cảm hứng đến tận ngày hôm nay. Đối với Haeckel, chúng có vẻ như là một bằng chứng về sự sáng tạo và nghệ thuật căn bản của thế giới tự nhiên – một thiên hướng có trật tự và hình mẫu được bao hàm trong các quy luật tự nhiên. Thậm chí là ngày nay nếu chúng ta không đồng ý với quan điểm này nữa, vẫn có gì đó quan trọng trong quan điểm của Haeckel rằng hình mẫu lặp lại là một sự thôi thúc không thể cưỡng lại của thế giới tự nhiên – thứ mà chúng ta có quyền thấy để thấy là chúng đẹp.