Liệu có phải tình cờ mà ta gặp được người thương hay có một lý do sâu sắc hơn thế? Còn giấc mơ kỳ lạ đêm qua thì sao — đó chỉ là những lan man ngẫu nhiên của các khớp nối thần kinh trong não, hay liệu nó còn hé lộ điều gì sâu thẳm về vô thức của ta? Có thể giấc mơ đã cố nói cho ta điều gì đó về tương lai. Cũng có thể là không. Hay khi một người thân mắc phải một dạng ung thư nguy hiểm, liệu điều đó có ý nghĩa quan trọng nào không, hay chỉ đơn thuần là kết quả của một đột biến ngẫu nhiên trong ADN?

Chúng ta dành cả cuộc đời để suy nghĩ về những hình mẫu1 sự kiện xảy ra xung quanh mình. Ta tự hỏi rằng chúng chỉ là ngẫu nhiên, hay xảy đến bởi một lý do chân thật và sâu sắc độc nhất nào đó. Một nhà toán học như tôi thường dựa vào các con số và định lý để tìm hiểu những câu hỏi thế này. Nhờ vậy, tôi đã học được đôi điều về việc tìm kiếm ý nghĩa qua các hình mẫu trong cuộc sống từ một trong những định lý sâu sắc nhất trong lý luận toán học. Định lý này, nói một cách đơn giản, cho thấy rằng không tồn tại một cách thức nào để biết được, kể cả trên lý thuyết, rằng lý giải về một hình mẫu liệu đã là lý giải sâu sắc và thú vị nhất hay chưa. Cũng như trong cuộc sống, việc tìm kiếm ý nghĩa trong toán học không có giới hạn nào cả.

Đầu tiên là một vài ví dụ sơ bộ. Hãy xem xét 3 chuỗi ký tự sau:

1. 100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100

2.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

3. 

38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418.

Làm thế nào để mô tả những chuỗi này? Ta có thể dễ dàng mô tả chúng bằng cách viết chúng ra như trên. Tuy nhiên, rõ ràng là có những mô tả ngắn gọn hơn cho hai chuỗi đầu tiên. Chuỗi thứ nhất gồm những con số 100 lặp đi lặp lại. Chuỗi thứ hai đơn giản là liệt kê những số nguyên tố đầu tiên. Vậy còn chuỗi thứ ba? Ta có thể mô tả nó chỉ bằng việc in ra các ký tự. Nhưng liệu còn có mô tả nào ngắn gọn và tốt hơn hay không?

Sự ngẫu nhiên thường gây nản lòng và bởi vậy mà ta tìm kiếm một hình mẫu để loại trừ bớt những hỗn loạn.

Vào đầu những năm 1960, thiếu niên người Mỹ Gregory Chaitin, nhà toán học người Nga nổi tiếng khắp thế giới Andrey Kolmogorov2, và nhà khoa học máy tính hàng đầu Ray Solomonoff đã độc lập xây dựng một cách đo độ phức tạp của các chuỗi ký tự. Ý tưởng của họ sau này được gọi là Thuyết Phức tạp Kolmogorov hay Thuyết Thông tin Thuật toán. Họ coi độ phức tạp của một chuỗi ký tự tương đương với độ dài của chương trình máy tính ngắn gọn nhất để tạo ra chính chuỗi đó. Nói cách khác, khi xét một chuỗi ký tự thì hãy đi tìm một chương trình máy tính ngắn gọn tạo ra chuỗi đó. Chương trình này là một dạng mô tả về chuỗi đó. Nếu chương trình ngắn gọn nhất có độ dài rất ngắn thì chuỗi ký tự nó mô tả có một hình mẫu đơn giản và không phức tạp cho lắm. Ta nói rằng chuỗi này “có ít nội dung thuật toán.” Ngược lại, nếu một chuỗi cần một chương trình dài để tạo ra nó thì chuỗi đó phức tạp và “có nhiều nội dung thuật toán hơn.” Với bất kỳ chuỗi nào, ta cần phải tìm ra chương trình ngắn gọn nhất tạo ra nó. Độ dài chương trình đó được gọi là độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi.

Ta hãy cùng nhìn lại ba chuỗi ở trên. Hai chuỗi đầu có thể được mô tả bằng những chương trình máy tính khá ngắn gọn như sau:

1. In “100” 30 lần

2. In 25 số nguyên tố đầu tiên

Độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi thứ nhất thấp hơn so với chuỗi thứ hai bởi vì chương trình thứ nhất ngắn hơn. Chuỗi thứ ba thì sao? Không có hình mẫu rõ ràng nào cho chuỗi này cả. Tuy nhiên, vẫn tồn tại một chương trình ngớ ngẩn xuất ra chuỗi này:

3. In

“38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418”

Dù chương trình này làm đúng nhiệm vụ, nó không khiến ta hài lòng cho lắm. Có lẽ vẫn còn một chương trình ngắn hơn có thể cho thấy rằng chuỗi này chứa đựng một hình mẫu. Khi chương trình ngắn gọn nhất tạo ra một chuỗi chỉ là “In chuỗi ra,” ta nói rằng chuỗi này rất phức tạp và không có hình mẫu xác định nào. Một chuỗi không có hình mẫu nào thì được gọi là ngẫu nhiên. Mặc dù chúng ta không hề thấy một hình mẫu nào, có thể một hình mẫu nào đó vẫn tồn tại. Trong toán học, cũng như trong cuộc sống, chúng ta đối mặt với rất nhiều hình mẫu có vẻ ngẫu nhiên.

Chúng ta có thể sử dụng sức mạnh kinh ngạc của máy tính hiện đại để tìm ra một hình mẫu và chương trình ngắn gọn nhất. Sẽ thật tuyệt nếu ta có một chiếc máy tính có thể tính toán độ phức tạp Kolmogorov của bất kỳ chuỗi nào, không phải sao? Chiếc máy tính này nhận vào một chuỗi ký tự, và xuất ra độ dài của chương trình ngắn nhất có thể tạo ra chuỗi đó. Với tất cả những công cụ máy tính mới lạ như trí tuệ nhân tạo, máy học, dữ liệu lớn, tính toán lượng tử, vân vân, hẳn là ta sẽ dễ dàng tạo ra một chiếc máy tính như thế.

Than ôi, một chiếc máy như thế không thể nào tồn tại được! Dù những chiếc máy tính hiện đại có đầy quyền năng tới đâu đi chăng nữa thì nhiệm vụ này vẫn không thể thực thi được. Đây chính là nội dung của một trong những định lý sâu sắc nhất trong lý luận toán học. Về cơ bản, định lý này nói rằng độ phức tạp Kolmogorov của một chuỗi không thể nào được tính ra. Không có một thiết bị máy móc nào có thể xác định kích thước của chương trình ngắn gọn nhất tạo ra một chuỗi cho sẵn. Không phải do trình độ công nghệ thông tin hiện hành không đủ cho nhiệm vụ này, hay chúng ta không đủ thông minh để viết ra một thuật toán như thế. Mà vấn đề là, bản thân sự mô tả và tính toán đã cho thấy rằng không có một chiếc máy tính nào có thể thực hiện nhiệm vụ này cho mọi chuỗi. Trong khi một chiếc máy tính có thể tìm thấy hình mẫu nào đó trong một chuỗi, nó không thể nào tìm ra được hình mẫu tốt nhất. Ta có thể tìm được một chương trình ngắn gọn để xuất ra một hình mẫu nhất định, nhưng vẫn có thể tồn tại một chương trình nào đó còn ngắn hơn. Chúng ta sẽ không bao giờ biết được.

Bằng chứng cho việc độ phức tạp Kolmogorov của một chuỗi là không thể tính toán được hơi nặng về kỹ thuật. Nhưng đây là một chứng minh bằng phản chứng3, và chúng ta có thể hiểu sơ về nó bằng việc xem xét hai nghịch lý nho nhỏ đáng yêu sau đây.

Nghịch lý số thú vị xoay quanh nhận định rằng tất cả các số tự nhiên đều thú vị. Số 1 là con số đầu tiên nên nó thú vị. Số 2 là số chẵn đầu tiên. Số 3 là số nguyên tố lẻ đầu tiên. Số 4 thú vị vì 4=2×2 và 4=2+2. Chúng ta có thể tiếp tục theo kiểu này và tìm ra những tính chất thú vị cho rất nhiều con số. Đến một lúc nào đó, ta sẽ gặp một con số không có vẻ gì là thú vị. Chúng ta có thể gọi con số đó là con số không thú vị đầu tiên. Cơ mà chính nó lại là một tính chất thú vị. Suy ra, con số không thú vị, thực ra lại thú vị!

Chúng ta sẽ không bao giờ biết được liệu hình mẫu ta tìm được có phải là cái tốt nhất hay không.

Những ý tưởng bên trong chứng minh Kolmogorov cũng tương tự như trong nghịch lý Berry. Nghịch lý này nói về việc mô tả những con số lớn. Hãy để ý rằng khi dùng càng nhiều từ, con số bạn có thể mô tả càng lớn. Ví dụ, bằng ba từ bạn có thể mô tả “một tỉ tỉ” trong khi với năm từ bạn sẽ có “một tỉ tỉ tỉ tỉ” tức một con số có giá trị lớn hơn rất nhiều. Bây giờ hãy xem xét con số được mô tả sau đây:

“Số nhỏ nhất mà ta không thể mô tả với dưới 15 từ.”

Con số này cần 15, hoặc 16 hay thậm chí nhiều từ hơn để mô tả. Số này không thể mô tả được với 12, hoặc 13, hoặc 14 từ. Tuy nhiên có một vấn đề lớn ở đây: Câu phía trên4 đã mô tả con số đó chỉ với 12 từ. Mô tả của chúng ta đã vi phạm chính mô tả của con số. Đây chính là một phản chứng.

Trong cả nghịch lý số thú vị và nghịch lý Berry, chúng ta đi đến những phản chứng bằng cách giả định rằng có một cách chính xác để mô tả một thứ. Tương tự, bằng chứng cho việc độ phức tạp Kolmogorov là không thể tính toán được bắt nguồn từ thực tế rằng nếu có thể tính được nó thì ta sẽ tìm thấy một phản chứng.

Thực tế rằng độ phức tạp Kolmogorov không thể tính toán được là một kết quả toán học thuần túy và ta không bao giờ nên nhầm lẫn địa hạt nguyên sơ đó với thế giới thực hỗn loạn và phức tạp hơn rất nhiều. Tuy nhiên, có những chủ đề chung nhất định về thuyết phức tạp Kolmogorov mà ta có thể áp dụng khi suy nghĩ về thế giới thực.

Rất nhiều lần ta đối mặt với một thứ gì đó có vẻ hoàn toàn hỗn loạn. Sự ngẫu nhiên này thật đáng sợ, vậy nên ta tìm kiếm một hình mẫu để loại bỏ đi phần nào sự hỗn loạn. Ngay cả khi ta tìm được một hình mẫu, cũng không có gì đảm bảo đó là hình mẫu tốt nhất để giải thích cho những gì ta thấy. Có lẽ ta sẽ tự hỏi liệu có tồn tại một hình mẫu sâu sắc hơn và mang đến lời giải thích tốt hơn. Điều mà thuyết phức tạp Kolmogorov dạy ta là, ở mức độ sâu xa nhất, không có cách nào chắc chắn để xác định hình mẫu tốt nhất. Đơn giản là ta sẽ chẳng bao giờ biết được liệu hình mẫu ta tìm được đã là cái tốt nhất hay chưa.

Nhưng điều đó khiến cho cuộc tìm kiếm luôn luôn thú vị. Theo định nghĩa, một điều được coi là thú vị nếu ta cần suy nghĩ thêm về nó. Một sự thật rõ ràng và hoàn toàn được hiểu hết không đòi hỏi ta suy nghĩ sâu xa hơn. Sự thật rằng 6 nhân 7 bằng 42 hoàn toàn có thể hiểu được và chẳng hề thú vị. Phải đến khi ta không chắc chắn về những ý tưởng thì ta mới cần xác nhận và suy nghĩ về chúng. Cuộc tìm kiếm cho những hình mẫu tốt hơn sẽ luôn đầy thú vị.

Chúng ta muốn biết rằng thế giới xung quanh ẩn chứa một ý nghĩa, mục đích và tầm quan trọng nào đó.

Thế giới thực còn phức tạp hơn. Trong khi thế giới của các chuỗi ký tự và chương trình máy tính không có các lỗi sai, ngoài đời thực ta có thể, và vẫn luôn mắc sai lầm. Ta có thể dễ dàng thấy được liệu một chương trình cụ thể có xuất ra được một chuỗi hay không. Cả khi ta không xác định được chương trình tối ưu nhất để xuất ra một chuỗi cụ thể, ta vẫn có thể xác định liệu chương trình đó có xuất ra được chuỗi yêu cầu. Đổi lại, thế giới thực phức tạp hơn rất nhiều. Ta có thể nghĩ rằng ta nhận ra một hình mẫu trong khi sự thật là ta đã sai lầm.

Bây giờ thì ta bắt đầu chắp nối để hiểu về cuộc tìm kiếm ý nghĩa của mình. Chúng ta ghét sự ngẫu nhiên và yêu các hình mẫu. Chúng ta được lập trình về mặt sinh học để tìm kiếm những hình mẫu lý giải cho những điều ta thấy. Nhưng ta không bao giờ có thể chắc chắn rằng hình mẫu ta tìm ra là đúng. Thậm chí nếu bằng cách nào đó ta có thể chắc rằng mình không mắc sai lầm, và ta đang hành động hoàn hảo như một máy tính, vẫn sẽ luôn tồn tại một sự thật ở tầng sâu hơn để ta tìm ra. Sự căng thẳng này giúp thúc đẩy tình yêu của ta với văn chương, kịch nghệ, và phim ảnh. Khi ta đọc một cuốn tiểu thuyết, hay xem một vở kịch, tác giả hay đạo diễn đang thể hiện cho ta thấy một chuỗi sự kiện có một chủ đề, hình mẫu hay bài học xuyên suốt. Văn chương, kịch nghệ, và phim ảnh trao cho ta một lối thoát dễ chịu khỏi những hỗn loạn khó hiểu và vô nghĩa mà ta thường bắt gặp trong đời thực. Văn chương thực sự hay còn đi xa hơn, và để lại cho ta nhiều cách diễn giải. Đó là khi chúng ta mặt đối mặt với sự không thể tính toán được của độ phức tạp Kolmogorov.

Sự căng thẳng này còn định hình cách chúng ta tham gia vào cuộc sống của chính mình. Khi đi qua những sự kiện dường như ngẫu nhiên trong cuộc sống, ta sẽ tìm kiếm những hình mẫu và cấu trúc. Cuộc sống vốn tràn ngập những “thăng trầm.” Có những niềm vui khi ta yêu, khi ta cười đùa với con trẻ, và cảm nhận được thành tựu khi hoàn thành một việc khó khăn. Cũng có nỗi đau khi một mối quan hệ đổ vỡ, nỗi thống khổ khi ta thất bại trước một việc sau rất nhiều nỗ lực, hay bi kịch khi mất đi những người ta thương yêu. Chúng ta cố gắng tìm ra ý nghĩa cho tất cả những điều này. Chúng ta ghét cảm giác của sự ngẫu nhiên hoàn toàn và ý tưởng rằng ta chỉ đang đi theo những quy luật hỗn loạn thông thường của vật lý. Chúng ta muốn biết rằng thế giới xung quanh ẩn chứa một ý nghĩa, mục đích, và tầm quan trọng nào đó. Chúng ta muốn một câu chuyện kỳ diệu về cuộc sống, vì vậy mà ta tự kể những câu chuyện ấy cho chính mình.

Đôi khi những câu chuyện chỉ là sai sự thật. Đôi khi ta lừa dối chính mình và những người xung quanh. Và đôi khi các hình mẫu ta xác định được là chính xác. Nhưng kể cả khi câu chuyện là chính xác, thì nó cũng không nhất thiết là câu chuyện tốt nhất. Chúng ta không bao giờ biết được liệu có câu chuyện nào khác sâu sắc hơn và chính xác hơn. Khi ta già đi và phải chịu đựng nỗi buồn chán, ta có thêm những hiểu biết nhất định về vũ trụ mà trước đó ta không hề thấy. Ta tìm thấy những hình mẫu tốt hơn. Có thể ta sẽ hiểu về mọi việc thông suốt hơn. Cũng có thể là không. Ta sẽ không bao giờ biết được. Nhưng một điều ta biết chắc là cuộc tìm kiếm này sẽ không bao giờ kết thúc.